Предел последовательности
Задания для подготовки к практическому занятию
Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если
, то первые члены этой последовательности:
Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:
- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.
- Последовательность
:
стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения
становятся очень
маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.
Пишут:
(предел при n®¥ равен 0) или иногда
.
- Сходным образом
и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.
При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:
предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);
предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);
предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).
Определение двойного интеграла.
Определение 1. Сумма
, построенная в п. 1 называется интегральной суммой для функции f (x; y) на замкнутой области D.
Определение 2. Двойным интегралом от функции f (x;y) по замкнутой области D называется предел интегральной суммы
при условиях:
а) n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку);
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора на этих частях точек
![]()
Обозначение двойного интеграла:
![]()
Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла).
Если в замкнутой области D
R² функция z = f (x;y) непрерывна, то двойной интеграл от этой функции по области D существует.
Предел функции Предел функции f(x) на бесконечности:
вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥. Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции
имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту
при х®+¥ и
при х®-¥.
Вычислить предел с помощью формулы Тейлора:
.
Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР. Доказать по определению
. Решение. Берем
. Ищем
![]()
Предел и непрерывность функции обной переменной Понятие предела функции
при
, стремящемся к
(сокр.
), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции
вблизи точки
, т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство
.
ПРИМЕР Показать по определению
. Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы
Существование предела частного функций
доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции
на некоторой окрестности
.
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода |