Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

- Последовательность натуральных чисел 1,2,3,4,5,… неограниченно возрастает или стремится к плюс бесконечности: n®+¥. Поскольку n – натуральные числа и не могут быть отрицательными, знак «+» обычно опускают, подразумевая его «по умолчанию», и пишут n®¥.

- Последовательность :  стремится к 0 при n®¥. Действительно, при очень больших значениях n значения  становятся очень

маленькими, так что, хотя члены этой последовательности не становятся равны 0, но отграничить их от 0 невозможно: начиная с некоторого номера все члены этой последовательности оказываются ближе к 0, чем любое заранее выбранное число e. Это легко понять, например если изобразить члены последовательности точками на числовой прямой.

Пишут:  (предел при n®¥ равен 0) или иногда .

- Сходным образом  и т.п. Вообще, если числитель дроби постоянен, а знаменатель неограниченно взрастает, то вся дробь стремится к 0.

При вычислении пределов последовательностей пользуются простыми их свойствами:

предел суммы равен сумме пределов (если последние существуют и конечны);

предел произведения равен произведению пределов (если последние существуют и конечны);

предел отношения равен отношению пределов (если последние существуют и конечны и предел знаменателя не равен 0).

Определение двойного интеграла.

Определение 1. Сумма , построенная в п. 1 называется интегральной суммой для функции f (x; y) на замкнутой области D.

Определение 2. Двойным интегралом от функции f (x;y) по замкнутой области D называется предел интегральной суммы  при условиях:

а) n → ∞ и  max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку);

б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора на этих частях точек  

Обозначение двойного интеграла:

 

Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла).

Если в замкнутой области DR² функция z = f (x;y) непрерывна, то двойной интеграл от этой функции по области D существует.

Вычислить  .

Предел функции  Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥.

Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Предел, непрерывность ФНП ПРИМЕР. Доказать по определению . Решение. Берем . Ищем  

Предел и непрерывность функции обной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство .

ПРИМЕР Показать по определению . Теоремы о пределах о свойствах функций, имеющих конечные пределы

Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел