Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Цилиндрические координаты точки в пространстве - это ее полярные координаты в XOY и координата Z.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующим образом:

Пример 12

Найти момент инерции по оси z площади поверхности, которая лежит ниже параболоида , внутри цилиндра , над плоскостью Оxy и имеет формулу распределения плотности .

Решение

По формуле момента инерции получим:

Уравнение области внутри цилиндра переведем в цилиндрические координаты. Получаем:

Биномиальным дифференциалом называется выражение вида

,

где  и  – любые постоянные, а показатели степеней ,  и  – некоторые рациональные числа.

П.Л. Чебышев доказал, что биномиальный дифференциал интегрируется в элементарных функциях только в следующих трех случаях:

1)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел  и ;

2)   – целое число; интеграл  рационализируется подстановкой , где  – знаменатель рационального числа ;

3)   – целое число; интеграл  рационализируется
подстановкой .

Эта теорема, отмечая случаи рационализации интеграла ,
устанавливает, что не существует никаких других случаев, в которых этот интеграл является элементарной функцией.

Практическое применение теоремы показывает следующий пример.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного