Вычислить тройной интеграл 
, где
Решение
Теорема 1 о переходе к сферическим координатам
Пусть 
- непрерывно дифференцируемые и пусть 
- непрерывная на 
функция. Тогда
Переход к сферическим координатам осуществляется функциями
r - расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки);
-
угол между радиус-вектором 
и положительным направлением оси OZ;
-
угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против
часовой стрелки (полярный угол).
Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:
Связь сферических и декартовых координат:
Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:
I - это определитель Якоби, имеющий вид:
т.к.
и 
.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам:
Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.
Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Сведение исходного интеграла
к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала:
. Функция 
– какая-то первообразная для 
и ее подбирают, используя формулы дифференцирования
и правила дифференцирования. Например, имеем (для 
из ОДЗ функций):
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
и т.д.
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Вычислить тройной интеграл 
, где 
С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить
Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела
Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо
взять равной 1, и мы получим 
Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.