На главную v-garant.ru
Метод замены переменной Интегрирование по частям Вычислить криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функции комплексной переменной Функции нескольких переменных Векторное поле Решение типовых задач

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Вычислить тройной интеграл , где

Решение

Теорема 1 о переходе к сферическим координатам

Пусть - непрерывно дифференцируемые и пусть - непрерывная на функция. Тогда

Переход к сферическим координатам осуществляется функциями

r - расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки);

- угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

- угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

Связь сферических и декартовых координат:

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

I - это определитель Якоби, имеющий вид:

т.к. и .

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам:

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Например, имеем (для  из ОДЗ функций):

;

;

;

;

;

 и т.д.

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Вычислить тройной интеграл , где

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить

Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела

Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

Цилиндрические координаты

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.


Страстные ночные кошечки в районе Западный жил массив http://rostov.prostitutki.buzz/locations/zapadnyj-zhil-massiv/ сделают вас своим хозяином
Вычислить интеграл от функции комплексного переменного