Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Вычислить тройной интеграл , где

Решение

Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Пример 15

Найти объем, лежащий внутри сферы и снаружи конуса

Решение

Прейдем к сферическим координатам. Уравнение сферы будет выглядеть следующим образом: . Добавим к уравнению конуса справа и слева: .

Осуществим переход:

Сокращаем на и разрешаем относительно , получаем:

Чтобы найти объем вычисляем следующий интеграл:

Объем равен:

ТЕОРЕМА. Пусть функции  и  – дифференцируемы на
промежутке . Тогда на  справедлива формула

,  (*)

(аргумент функций опущен для простоты записи), называемая
формулой "интегрирование по частям".

В самом деле, имеем , откуда . Интегрируя обе части равенства, получим формулу (*). Произвольная постоянная интеграла  объединяется с произвольной постоянной интеграла   и поэтому в явном виде в формуле (*) не записана.

Значение формулы (*) состоит в том, что интеграл  
иногда удается представить в виде интеграла  так, что интеграл  вычисляется "проще", чем исходный интеграл.

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора.

1. Существуют функции, производные которых являются более "простыми", чем сами функции: например, они легче интегрируются. Такими являются, в частности, функции

  и т.д.

Вместе с тем существуют функции, производные которых этими свойствами не обладают, среди них такие функции, как

  и т.д.

При вычислении интеграла методом интегрирования по частям рекомендуется в формуле (*) выбирать  так, чтобы переход
от   к  "упрощал", а переход от  к  "не усложнял"
подынтегральное выражение в интеграле .


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного