Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Двойной интеграл в полярных координатах

Если область интегрирования D - круг или часть круга, то обычно двойной интеграл вычислить легче, если перейти к полярным координатам. Полярный полюс помещается в начало декартовых координат, полярная ось направлена вдоль оси Ох. Формулы перехода к полярным координатам:

Дифференциал площади в полярных координатах равен

ds = rdrdφ

С учётом формул (10), (11) находим:

Двойные интегралы в полярных координатах выражаются через двукратные интегралы вида

Рис 6. - Область интегрирования, не содержащая начало координат

Рис 7. - Область интегрирования, содержащая начало координат

Если область D содержит начало координат (рисунок 7), то

5. Определение тройного интеграла

Пусть в замкнутой пространственной области  V определена непрерывная функция трёх переменных f(х, у, z). Разобьём область V на частичные, объёмы которых обозначим

Выберем в каждой частичной области произвольную точку, в которой вычислим значение функции , i = 1,2,...,п. Составим сумму

которая называется интегральной суммой для тройного интеграла.

Предел интегральной суммы (14) при

,

не зависящий от способа разбиения области V на частичные и от выбора точек , называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по

области V и обозначается 

В тройном интеграле f(x,y,z) называется подынтегральной функцией, dν - дифференциалом объёма.

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Вычислить дифференциалы ,  и , если , ,  и  – произвольные.

2. Найти ,  и  для функции  в точке  при , .

Ответы. 1. ;

;

.

2. .


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного