Лекции по математике
Криволинейный интеграл
Векторное поле
Вычисление пределов
Примеры решения задач
Поверхностный интеграл
Решение типовых задач
Производная функции
Интегрирование по частям
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Карта сайта

Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Если этой координатной плоскостью является плоскость хОу, то цилиндрические координаты r, φ, z связаны с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями

где

Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Если область V ограничена сферой или частью сферы, тройной интеграл вычислить проще переходом к сферическим координатам. Точка М в сферических координатах однозначно определяются величинами ρ, φ, θ. Здесь ρ- расстояние ОМ до точки из начала координат; φ- угол между проекцией ОМ на плоскость хОу и

осью Ох; θ - угол между положительным направлением оси Oz и лучом ОМ. Связь между прямоугольными декартовыми координатами х, у, z точки М и её

сферическими координатами ρ, φ, θ определяется соотношениями

где

Дифференциал объёма в сферических координатах выражается как

Формула замены переменных в тройном интеграле имеет вид:

1. Какой угол образует с осью  касательная прямая к кривой ,  в точке ?

2. Записать уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

3. Найти ,  для .

4. Для функции  убедиться в равенстве ее смешанных производных второго порядка  и  в области их
существования.

5. Для функции  найти  и . Убедиться, что значения этих производных не зависят от порядка дифференцирования.

Ответы. 1. ; кривая – пересечение верхней части двуполостного гиперболоида и плоскости .

2. .

3. .

4. ; достаточное
условие равенства смешанных производных ФНП – их непрерывность по совокупности переменных – выполнено.

5. ; замечаем, что последовательное вычисление производной  несколько проще.


Вычислить интеграл от функции комплексного переменного