Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических и электромагнитных) и его решение Угловая скорость и угловое ускорение. Пройденный путь S , перемещение dr, скорость v тангенциальное и нормальное ускорение at, an, представляют собой линейные величины. Для описания криволинейного движения наряду с ними можно пользоваться угловыми величинами.
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:
Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила
(147.1)
С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде
Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению
(147.2)
Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение
(147.3) Принцип причинности в квинтовой механике Из соотношения неопределенностей
часто делают вывод о неприменимости принципа причинности к явлениям, происходящим
в микромире. При этом основываются на следующих соображениях. В классической механике,
согласно принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известному
состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значениями
координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно
точно задать ее состояние в любой последующий момент. Следовательно, классическая
физика основывается на следующем понимании причинности: состояние механической
системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть
причина, а ее состояние в последующий момент — следствие.
Тогда уравнение (143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде
Используя (143.4) и (146.11), придем к уравнению
(147.4)
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.
Уравнения (147.2) и (147.4) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
(147.5)
применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной физической природы (x0 в случае механических колебаний равно F0/m, в случае электромагнитных — Um/L).
Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) однородного
уравнения (146.1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение
найдем в комплексной форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5)
на комплексную величину х0
:
(147.6)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
Подставляя
выражение для s и его производных 
в уравнение (147.6), получаем
(147.7)
Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов
времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что h=w.
Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину s0 и умножим ее числитель и
знаменатель на 
Это комплексное число удобно представить в экспоненциальной форме:
где
(147.8)
(147.9)
Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид
Его вещественная часть, являющаяся решением уравнения (147.5), равна
(147.10)
где А и j задаются соответственно формулами (147.8) и (147.9).
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) имеет вид
(147.11)
Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения
(147.12)
(см. (146.5)) и частного решения (147.11). Слагаемое (147.12) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (147.8). Графически вынужденные колебания представлены на рис. 209. Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (147.8) и (147.9), также зависят от w.
Запишем
формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных колебаний, учитывая,
что 
(см. (143.4)) и 
(см. (146.11)):
(147.13)
Продифференцировав Q=Qmcos(wt–a) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:
(147.14)
где
(147.15)
Выражение (147.14) может быть записано в ввде
где j=a – p/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (147.3)). В соответствии с выражением (147.13)
(147.16)
Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения (j>0), если wL>1/(wС), и опережает напряжение (j<0), если wL<1/(wС).
Формулы (147.15) и (147.16) можно также получить с помощью векторной диаграммы.
Свободные гармонические колебания в колебательном контуре Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R.
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Биения Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение.
Автоколебания Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности