Магнитное поле соленоида Контур с током в неоднородном магнитном поле Магнитное поле в веществе Электромагнитные колебания Резонансные явления в колебательном контуре Масса и энергия связи ядра На главную v-garant.ru

Конспекты лекций по физике

Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами.

Законы распространения упругих волн в твердых телах вытекают из общих уравнений движения однородной упруго деформированной среды:

,

где ρ – плотность среды; ui – компоненты вектора упругого смещения; σik = ciklmεlm – тензор напряжений; - тензор деформации; ciklm – тензор упругих модулей.

Отсюда следует, что вектор упругого смещения удовлетворяет волновому уравнению вида:

.

Если искать решение этого уравнения в виде плоской монохроматической волны

,

то ему можно придать вид:

,

где  - тензор приведенных упругих модулей; - единичный вектор волновой нормали; c = ω/k – фазовая скорость упругой волны.

Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых телах, и носит название уравнения Кристоффеля. Из него, в частности, следует, что в анизотропных твердых телах (кристаллах) по любому направлению могут распространяться три упругие волны, которые в общем случае не являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными. Фазовые скорости их также различны.

Изотропные твердые тела характеризуются только двумя упругими модулями – модулем Юнга E и модулем сдвига G. В таких телах две из трех упругих волн всегда являются чисто поперечными и имеют одинаковую фазовую скорость ct; третья волна является чисто продольной и имеет свою фазовую скорость cl > ct. В данном случае исходное волновое уравнение распадается на два независимых волновых уравнения для двух поперечных волн  и одной продольной волны :

 ,

где - фазовая скорость поперечной волны; - фазовая скорость продольной волны.

Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос энергии в упругой волне осуществляется за счет потока вектора Умова , аналогичного вектору Пойнтинга , и имеющему смысл плотности потока энергии. Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии для упругого поля имеет аналогичный вид:

,

где

 -

плотность энергии упругой волны, которая слагается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации;

 -

компоненты вектора Умова (Умов Н.А., 1846-1915).

Альтернативный подход к описанию закономерностей распространения упругих волн в кристаллах основан на представлении первичного волнового уравнения второго порядка системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от вектора смещения (Наими Е.К., Хзарджян С.М., 1978). При этом уравнения для поперечных компонент вектора смещения оказываются полностью аналогичными уравнениям Максвелла для электромагнитного поля в вакууме, а для продольных компонент – аналогичными уравнениям плазменных колебаний. Соответствующие уравнения записываются в виде:

для поперечных компонент

для продольных компонент

Преимуществом данного подхода является то, что он открывает возможность исследования упругих волновых процессов в кристаллах на основе математического аппарата, разработанного в электродинамике сплошных сред.

Стоячие волны.

При наложении двух встречных волн с одинаковой амплитудой возникают стоячие волны. Возникновение стоячих волн имеет место, например, при отражении волн от преграды. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну (рис.17.3).

Рис.17.3. Образование стоячей волны.

Стоячие волны бывают продольные (колебания стержней, звуковые волны в резонаторе музыкального инструмента) и поперечные (колебания закрепленной на концах натянутой струны, капиллярные волны на поверхности жидкости).

Рассмотрим две плоские монохроматические волны, распространяющиеся навстречу друг другу. Уравнения волн имеют вид:

,

.

Складывая эти уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:

.

Заменив в этом выражении волновое число k его значением , придадим ему следующий вид:

 ,

где  - амплитуда колебаний.

Написанное уравнение – есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в стоячей волне колебания в каждой точке происходят с той же частотой ω, что и у налагающихся волн. При этом амплитуда колебаний  зависит от координаты точки х.

В точках с координатами  амплитуда колебаний максимальна и равна 2a. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

В точках с координатами  амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называют узлами стоячей волны.

 Расстояние между соседними пучностями (узлами) составляет . Сами пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на четверть длины волны (рис.17.3). Фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, то есть точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе, а все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе.

Отметим, что в стоячей волне дважды за период колебаний происходит переход кинетической энергии от узла (где скорость равна нулю) к пучности (где она максимальна) и обратно. То же происходит и с потенциальной энергией, но в обратной последовательности по отношению к кинетической энергии. В результате средний поток энергии через любое сечение в стоячей волне равен нулю.


http://regionas.ru/
Явление электромагнитной индукции