ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Электроника
ТВЕРДОТЕЛЬНАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Генератор сигналов специальной формы
Изучение статических характеристик
полевых транзисторов
Основные параметры полевого транзистора
Изучение оптоэлектронных приборов
оптопара (оптрон)
Вольтамперная характеристика
Классификация изделий микроэлектроники.
Эпитаксия
Нанесение тонких пленок.
Полевой транзистор с изолированным затвором
ФОТОЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ
Фоторезисторы

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
Переходные процессы в линейных цепях первого порядка
Переходные процессы в RLC цепях.
Спектральное представление периодических процессов
Исследование характеристик линейных четырехполюсников
Аппаратно-программный комплекс PClab – 2000
Методика выполнения лабораторного практикума
в лаборатории электротехники
Исследование неразветвленной и разветвленной
электрических цепей постоянного тока
Исследование нелинейных цепей постоянного тока
Переходные процессы в электрических цепях

Лабораторная работа №3

Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

1. Общие сведения

Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой ω1=2π/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами ωn=nω1, кратными основной частоте ω1. Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.

Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических  составляющих с различными амплитудами Еn, частотами ωn=nω1 и начальными фазами φn в виде ряда Фурье

.

Ряд Фурье можно представить в другой форме:

.

Постоянная составляющая Е0 и коэффициенты ряда Фурье Вn и Сn рассчитываются по формулам

Для нечетных функций е(t) коэффициенты Сn=0, а для четных Bn=0, Связь между коэффициентами Bn, Cn и амплитудами Еn и фазами φn гармоник определяется соотношениями

.

Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник En от частоты ωn=nω1, называют спектром.

Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:

Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды En и фазы φn всех гармоник э.д.с.

В интересующей ветви рассчитываются токи i0, i1,...in, создаваемые каждой гармоникой э.д.с.

Искомый ток в ветви находится как сумма токов

.

Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i0, либо синусоидальные токи in, то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.

Рассмотрим примеры спектрального разложения наиболее распространенных периодических э.д.с.

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рис.1).

Постоянная составляющая последовательности

,

где q=T/tи – скважность импульсов.

Амплитуды гармоник с учетом четности функции e(t)

.

Ряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов будет иметь вид

.


Амплитудный спектр последовательности при скважности q=5 показан на рис.2. Спектры периодических функций дискретные.


Они содержат составляющие с частотами nw1, кратными частоте основной гармоники ω1=2π/T. Параметром  спектров является их ширина ∆ω. Для последовательности прямоугольных импульсов за ширину спектра принимают протяженность главного максимума

∆ω = 2π/tи.

Для импульсов простой формы произведение длительности импульсов на ширину спектра оказывается величиной постоянной

tи·∆ω= 2π.

Периодическая последовательность импульсов косинусо-идальной формы. Такие импульсы могут быть получены при ограничении э.д.с. вида Em·cosω1t на уровне E=Em·cosQ (рис.3). Аналитическая запись одного импульса последовательности имеет вид

,


где Q=arccos E/Em – угол отсечки.

Подпись: Рис. 3. Периодическая последовательность косинусоидальных сиг-налов

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник спектра последовательности определяются по формулам

En=Em·γn(Q), Eo = Em·γ0(Q),

где γ0(Q), γn(Q) – коэффициенты Берга. Зависимости первых трех коэффициентов Берга от угла отсечки показаны на рис.4.


3. Последовательность импульсов треугольной формы.

Один импульс последовательности описывается выражением

График треугольного колебания и сумма трех гармоник ряда Фурье для этой функции показаны на рис.5. Ряд Фурье для треугольных импульсов  состоит из нечетных гармоник

.


Спектральная диаграмма последовательности изображена на рис.6.


2. Программа работы

Исследовать спектр колебания прямоугольной формы с частотой F=5 кГц и 10 кГц, со скважностью q=2.

Исследовать спектр последовательности импульсов прямоугольной формы с частотой F=10 кГц и со скважностью q=5.

Исследовать спектр напряжения треугольной формы с частотой F= 10 кГц.

Получить спектр периодической последовательности импульсов косинусоидальной формы с частотой F=10 кГц и с углами отсечки Q=90°, Q=60°.

Для получения импульсов косинусоидальной формы подайте напряжение гармонической формы с генератора на цепь, приведенную на рис. 7. Угол  отсечки можно изменять с помощью регулировки «offset» – смещение на передней панели генератора.
Полученные спектры построить в логарифмическом и линейном масштабах.

Рис.7. Схема для исследования спектра косинусоидального импульса

Контрольные вопросы

 Приведите примеры несинусоидального периодического тока (напряжения).

 Почему нельзя непосредственно применить символический метод для расчета электрических цепей при воздействии несинусоидальных токов или напряжений?

 Поясните идею разложения несинусоидальных периодических функций в ряд Фурье.

 Как вычисляются коэффициенты ряда Фурье?

 Что такое амплитудный спектр периодического тока или напряжения?

 Изобразите спектры периодических токов а) прямоугольной формы, б) периодической последовательности косинусоидальных импульсов.

 Чем определяется расстояние между соседними составляющими спектров периодических токов?

 Какая существует связь между длительностью импульсов и шириной их спектра?

 Как можно использовать спектральное расположение периодических токов и напряжений для расчета электрических цепей?